Puteri, pătrate perfecte și radicali: reguli, greșeli și fișe pe 3 niveluri

O putere este o înmulțire repetată: 2⁵ = 2 · 2 · 2 · 2 · 2 = 32, unde 2 este baza, iar 5 exponentul. Rădăcina pătrată face drumul invers: √49 = 7, pentru că 7² = 49. În programa românească, puterile cu exponent natural se învață în clasa a V-a, puterile numerelor întregi și raționale în clasa a VI-a, iar radicalii în clasa a VII-a. Toate intră la Evaluarea Națională de la finalul clasei a VIII-a.

Fișă de lucru de printat

Începător: Pătratele numerelor de la 1 la 15. Mediu: Radicali din pătrate perfecte și cuburi. Avansat: Puteri mari, puteri ale lui 10 și calcule cu radicali.

La fiecare clic se generează exerciții noi. Răspunsurile sunt pe o pagină separată.

Pentru a printa fișa, lăsați adresa de e-mail pe getfontivo.com.

Puteri și radicaliMediu
Nume: Data:

Calculează rădăcina pătrată sau cubul numărului.

  1. √4 =
  2. 1³ =
  3. √16 =
  4. 4³ =
  5. √144 =
  6. √36 =
  7. 6³ =
  8. √9 =
  9. √64 =
  10. √361 =
  11. 3³ =
  12. √400 =
  13. 2³ =
  14. √81 =
  15. √225 =
  16. 5³ =
  17. √169 =
  18. √25 =
  19. √289 =
  20. √49 =
getfontivo.com
RăspunsuriPuteri și radicali · Mediu
  1. 2
  2. 1
  3. 4
  4. 64
  5. 12
  6. 6
  7. 216
  8. 3
  9. 8
  10. 19
  11. 27
  12. 20
  13. 8
  14. 9
  15. 15
  16. 125
  17. 13
  18. 5
  19. 17
  20. 7

Fișa de lucru pentru printat

Lăsați-ne adresa de e-mail și vă trimitem linkul către această fișă, împreună cu rezolvările. În plus, veți primi în fiecare săptămână o fișă nouă.

Ce sunt puterile și radicalii și de ce contează atât

a la puterea n înseamnă că înmulțim numărul a cu el însuși de n ori. În scrierea 3⁴, 3 este baza, 4 este exponentul, iar rezultatul, 81, este puterea. Două cazuri au nume proprii: pătratul (exponentul 2, ca aria unui pătrat cu latura a) și cubul (exponentul 3, ca volumul unui cub cu muchia a).

Rădăcina pătrată răspunde la întrebarea „ce număr ridicat la pătrat dă acest rezultat?”. √64 = 8, pentru că 8² = 64. Numerele care au rădăcina pătrată un număr natural (1, 4, 9, 16, 25…) se numesc pătrate perfecte.

Capitolul pare mic, dar el trece prin tot gimnaziul: puterile apar în descompunerea în factori primi, în c.m.m.d.c. și c.m.m.m.c., în fracții zecimale (puteri ale lui 10), apoi în teorema lui Pitagora și în calculul algebric din clasa a VIII-a. Un copil care ezită la 13² sau la √144 pierde timp la fiecare exercițiu din aceste capitole.

În ce clasă se învață puterile și radicalii

Conform programei de Matematică pentru clasele a V-a – a VIII-a (OMEN nr. 3393/2017), materia se construiește în trei trepte:

ClasaCe scrie în programă
a V-aputerea cu exponent natural a unui număr natural, pătratul unui număr natural, reguli de calcul cu puteri, compararea puterilor, scrierea în baza 10
a VI-aputerea cu exponent natural a unui număr întreg; puterea cu exponent întreg a unui număr rațional nenul (de exemplu 2⁻³ = 1/8)
a VII-arădăcina pătrată a pătratului unui număr natural, estimarea rădăcinii pătrate, scoaterea și introducerea factorilor sub radical, numere iraționale, raționalizarea numitorului, ecuația x² = a
a VIII-aridicarea la putere în calculul algebric, formulele (a ± b)² și a² − b²

Programele pentru Evaluarea Națională 2027 la clasa a VIII-a, publicate în octombrie 2026, cuprind toate aceste conținuturi, inclusiv scoaterea factorilor de sub radical. Golurile rămase din clasele a V-a și a VII-a se văd, așadar, direct la examen.

Un detaliu util din programa de clasa a V-a: elevii trebuie să poată stabili dacă un număr este pătrat perfect după ultima cifră sau încadrându-l între pătratele a două numere consecutive, și să compare puteri aducându-le la aceeași bază sau la același exponent. Sunt exact tipurile de exerciții care apar la testele de la clasă.

Regulile de calcul cu puteri, într-un singur tabel

RegulaExempluCum îi explicați copilului
aᵐ · aⁿ = aᵐ⁺ⁿ2³ · 2⁴ = 2⁷ = 1283 factori de 2 și încă 4 factori de 2 înseamnă 7 factori de 2
aᵐ : aⁿ = aᵐ⁻ⁿ5⁶ : 5⁴ = 5² = 25se „simplifică” 4 factori de 5
(aᵐ)ⁿ = aᵐ·ⁿ(3²)³ = 3⁶ = 729de 3 ori câte 2 factori de 3
(a · b)ⁿ = aⁿ · bⁿ2⁵ · 5⁵ = 10⁵ = 100 000perechile 2 · 5 dau 10
a¹ = a, a⁰ = 1 (a ≠ 0)7⁰ = 17³ : 7³ = 1, deci 7⁰ = 1
√(a · b) = √a · √b√72 = √36 · √2 = 6√2căutați cel mai mare pătrat perfect care divide numărul

Ce nu există: o regulă pentru adunarea puterilor. 2³ + 2⁴ nu este 2⁷; se calculează 8 + 16 = 24. Iar √(9 + 16) = √25 = 5, nu √9 + √16 = 7.

Pătratele de la 1 la 20: tabelul care trebuie știut pe de rost

Fișele de nivel Mediu cer rădăcini pătrate până la √400. Copilul le rezolvă repede numai dacă recunoaște pătratele perfecte dintr-o privire:

n11121314151617181920
n²121144169196225256289324361400

Pătratele de la 1 la 10 vin direct din tabla înmulțirii. Cuburile de bază sunt puține: 1, 8, 27, 64, 125, 216, 343, 512, 729, 1000.

Plan de trei săptămâni, câte 10 minute pe zi

  1. Săptămâna 1: pătratele de la 1 la 15 (nivelul Începător), plus regula ultimei cifre: un pătrat perfect se termină numai în 0, 1, 4, 5, 6 sau 9.
  2. Săptămâna 2: pătratele până la 20, rădăcinile lor și cuburile până la 6³ (nivelul Mediu).
  3. Săptămâna 3: regulile de calcul și puterile lui 10 (nivelul Avansat). La final, copilul ar trebui să scrie √72, √50 și √48 sub forma a√b fără ajutor.

Exemplu rezolvat: Care număr este mai mare: 2³⁰ sau 3²⁰?

  1. Bazele și exponenții sunt diferiți, deci puterile nu se pot compara direct. Căutăm un exponent comun: 30 și 20 se împart amândoi la 10.
  2. 2³⁰ = (2³)¹⁰ = 8¹⁰, folosind regula (aᵐ)ⁿ = aᵐ·ⁿ.
  3. 3²⁰ = (3²)¹⁰ = 9¹⁰.
  4. Acum exponenții sunt egali, deci este mai mare puterea cu baza mai mare: 9 > 8, așadar 3²⁰ > 2³⁰.
  5. Observați că nu a fost nevoie să calculăm niciun număr uriaș. Exact asta cere programa la compararea puterilor: aducerea la aceeași bază sau la același exponent.

Greșeli frecvente

  • 2³ = 6. Copilul înmulțește baza cu exponentul. Cereți-i să scrie înmulțirea desfășurat (2 · 2 · 2) de câteva ori, până când 2³ = 8 devine automat.
  • −3² confundat cu (−3)². În clasa a VI-a apare des: (−3)² = 9, dar −3² = −9, pentru că puterea se aplică doar lui 3. Regula de verificat: parantezele arată cine este baza.
  • Adunarea exponenților când se adună puteri: 2³ + 2³ = 2⁶. Corect este 2³ + 2³ = 2 · 2³ = 2⁴ = 16. Regulile cu exponenți funcționează numai la înmulțire și împărțire.
  • a⁰ = 0. Explicați-i prin împărțire: 5³ : 5³ = 1, iar după regulă este 5⁰. Deci 5⁰ = 1.
  • √(a + b) = √a + √b. Un contraexemplu lămurește imediat lucrurile: √(9 + 16) = 5, dar √9 + √16 = 7.

Sfaturi pentru părinți

  • Jucați în mașină jocul „ultimei cifre”: care este ultima cifră a lui 7²⁰²⁶? Ultimele cifre ale puterilor lui 7 se repetă din 4 în 4 (7, 9, 3, 1), iar 2026 dă restul 2 la împărțirea la 4, deci răspunsul este 9.
  • Lipiți tabelul pătratelor de la 11 la 20 pe frigider și cereți în fiecare seară două dintre ele, în ambele sensuri: „cât e 17²?” și „din ce număr la pătrat iese 289?”.
  • Când copilul estimează un radical, cereți-i încadrarea: √50 este între 7 și 8, pentru că 49 < 50 < 64. Încadrarea este și o verificare bună a rezultatului de pe calculator.
  • Înainte de radicali (clasa a VII-a), verificați dacă știe descompunerea în factori primi din clasele a V-a și a VI-a. Scoaterea factorilor de sub radical pornește de acolo.

Întrebări frecvente

Cum aflu dacă un număr este pătrat perfect?

Mai întâi vă uitați la ultima cifră: un pătrat perfect se termină în 0, 1, 4, 5, 6 sau 9, deci 2027 nu poate fi pătrat perfect. Dacă ultima cifră nu exclude numărul, îl încadrați între două pătrate consecutive: 2026 se află între 45² = 2025 și 46² = 2116, deci nici el nu este pătrat perfect.

De ce orice număr la puterea 0 este 1?

Din regula împărțirii puterilor: 4⁵ : 4⁵ = 4⁰, dar un număr împărțit la el însuși dă 1. Excepția este 0⁰, care nu are sens și nu apare în exercițiile de gimnaziu.

Ce înseamnă „scoaterea factorilor de sub radical”?

Numărul de sub radical se scrie ca produs dintre cel mai mare pătrat perfect posibil și restul: √48 = √(16 · 3) = 4√3. Se învață în clasa a VII-a și este cerută la Evaluarea Națională. Cine știe pe de rost pătratele de la 1 la 20 găsește imediat pătratul potrivit.

Copilul meu e în clasa a VIII-a și nu stăpânește radicalii. Ce fac?

Începeți cu pătratele perfecte (nivelul Începător), treceți apoi la rădăcinile lor (nivelul Mediu) și abia după aceea la scoaterea factorilor de sub radical și la raționalizarea numitorului. Fișe scurte, rezolvate zilnic timp de două-trei săptămâni, fixează pătratele perfecte mai sigur decât o singură ședință lungă pe săptămână.

Care este diferența dintre cele trei niveluri ale fișei?

Începător: pătratele numerelor de la 1 la 15. Mediu: rădăcini pătrate până la √400 și cuburi până la 6³. Avansat: puteri ale lui 2, 3, 4 și 5, numere scrise cu puteri ale lui 10 și calcule care combină radicalii cu puterile.

Surse

Actualizat: · Verificat de redacția Fontivo