Ecuații de gradul I: cum le rezolvă copilul pas cu pas, cu fișe de exersat

O ecuație de gradul I are o singură necunoscută, care apare doar la puterea întâi, de exemplu 3x + 5 = 20. Se rezolvă făcând aceeași operație în ambii membri până rămâne x singur: se scade 5, apoi se împarte la 3, deci x = 5. În programa din România, ecuațiile apar în clasa a VI-a, iar forma generală ax + b = 0 se studiază în clasa a VII-a.

Fișă de lucru de printat

Începător: Un singur pas: x plus sau minus un număr. Mediu: Doi pași, de forma ax + b = c. Avansat: Paranteze, x în ambii membri, soluții negative.

La fiecare clic se generează exerciții noi. Răspunsurile sunt pe o pagină separată.

Pentru a printa fișa, lăsați adresa de e-mail pe getfontivo.com.

Ecuații de gradul IMediu
Nume: Data:

Rezolvă ecuațiile. Scrie fiecare pas pe un rând nou și fă proba.

  1. 7x + 7 = 91
  2. 9x + 10 = 64
  3. 2x + 9 = 33
  4. 9x + 9 = 117
  5. 9x + 10 = 127
  6. 8x + 19 = 139
  7. 3x + 20 = 47
  8. 7x + 4 = 74
  9. 6x + 8 = 50
  10. 6x + 19 = 43
  11. 8x + 15 = 87
  12. 5x + 17 = 62
getfontivo.com
RăspunsuriEcuații de gradul I · Mediu
  1. x = 12
  2. x = 6
  3. x = 12
  4. x = 12
  5. x = 13
  6. x = 15
  7. x = 9
  8. x = 10
  9. x = 7
  10. x = 4
  11. x = 9
  12. x = 9

Fișa de lucru pentru printat

Lăsați-ne adresa de e-mail și vă trimitem linkul către această fișă, împreună cu rezolvările. În plus, veți primi în fiecare săptămână o fișă nouă.

Ce este o ecuație de gradul I și de ce contează

O ecuație este o egalitate în care lipsește un număr, notat de obicei cu x. „De gradul I” înseamnă că x apare doar ca atare, nu la pătrat: 2x + 7 = 19 este de gradul I, x² = 9 nu este.

Copilul cunoaște ideea de mult: în clasele primare completa „☐ + 8 = 15”. Diferența din gimnaziu este că x apare de mai multe ori, cu paranteze și numere negative, iar ghicitul nu mai funcționează. Are nevoie de o metodă și de o redactare pe pași, pe care profesorul o punctează separat de rezultat.

De ce contează: din clasa a VII-a, aproape orice problemă cu text se rezolvă „notând cu x” și scriind o ecuație, iar sistemele de ecuații (tot în clasa a VII-a), inecuațiile și funcțiile din clasa a VIII-a se sprijină pe aceiași pași. Un copil care stăpânește ecuațiile de gradul I câștigă puncte în multe tipuri de exerciții, nu doar într-unul.

În ce clasă se învață ecuațiile?

Conform programei școlare de Matematică pentru clasele a V-a – a VIII-a (OMEN nr. 3393/2017):

ClasaCe prevede programa
a V-aNu se fac ecuații. Programa spune explicit că noțiunea de ecuație e introdusă în clasa a VI-a; problemele se rezolvă prin metode aritmetice, inclusiv metoda mersului invers.
a VI-aEcuații și inecuații cu numere întregi; apoi ecuații de tipul x + a = b, x · a = b, x : a = b și ax + b = c cu numere raționale. Programa numește explicit metoda mersului invers, metoda balanței și verificarea soluției prin probă.
a VII-aCapitolul „Ecuații și sisteme de ecuații liniare”: ecuații de forma ax + b = 0 cu numere reale, mulțimea soluțiilor, ecuații echivalente, sisteme de două ecuații (metoda substituției și metoda reducerii), probleme rezolvate cu ecuații.
a VIII-aInecuații de forma ax + b ≥ 0 și ecuații de gradul al II-lea rezolvate cu formulele de calcul prescurtat. Ecuația de gradul I devine unealtă în probleme și la funcții.

Pe scurt: dacă un copil din clasa a V-a primește „x + 12 = 30”, profesorul se așteaptă să-l rezolve prin raționament („ce număr adunat cu 12 dă 30?”), nu algebric. Detalii și exerciții tipice pe fiecare an: clasa a VI-a, clasa a VII-a, clasa a VIII-a.

Metoda balanței: aceeași operație în ambii membri

Gândiți-vă la ecuație ca la o balanță în echilibru: ce se face într-o parte se face și în cealaltă, iar balanța rămâne în echilibru. Ordinea pașilor e mereu aceeași:

  1. Desfacem parantezele (înmulțim numărul din fața parantezei cu fiecare termen din ea).
  2. Adunăm sau scădem același termen în ambii membri, ca termenii cu x să ajungă în stânga, iar numerele în dreapta.
  3. Reducem termenii asemenea: 5x − 2x = 3x; 21 − 3 = 18.
  4. Împărțim ambii membri la coeficientul lui x: 3x = 18, deci x = 6.
  5. Facem proba: înlocuim x în ecuația de la început și calculăm separat membrul stâng și membrul drept.

La clasă se spune adesea „trecem termenul în celălalt membru cu semn schimbat”. E o scurtătură corectă a pasului 2 (adunarea sau scăderea aceluiași termen în ambii membri), dar copiii care o folosesc fără să o înțeleagă ajung să schimbe semnul și când împart. Dacă observați confuzie, reveniți la balanță.

Prima mișcare, în funcție de forma ecuației

Ecuația arată ca…Primul pasExemplu
x + a = bscădem a din ambii membrix + 9 = 23 → x = 14
x − a = badunăm a în ambii membrix − 6 = 11 → x = 17
a · x = bîmpărțim ambii membri la a7x = 56 → x = 8
ax + b = cîntâi scădem b, apoi împărțim la a4x + 7 = 43 → 4x = 36 → x = 9
x în ambii membriaducem termenii cu x în stânga5x + 3 = 2x + 21 → 3x = 18 → x = 6
cu parantezedesfacem parantezele2(x + 4) = 18 → 2x + 8 = 18 → x = 5
cu fracțiiînmulțim cu numitorul comunx/2 + x/3 = 10 → 3x + 2x = 60 → x = 12

Clasa a VII-a: ax + b = 0 și cazurile speciale

În clasa a VII-a, răspunsul se scrie ca mulțime a soluțiilor, de exemplu S = {6}. Tot atunci apar două situații care îi surprind pe copii, pentru că x „dispare”:

  • 3x + 5 = 3x + 2 → 0 · x = −3, ceea ce nu se poate. Ecuația nu are soluții: S = ∅.
  • 2(x + 1) = 2x + 2 → 0 · x = 0, adevărat pentru orice număr. Orice număr real e soluție: S = ℝ.

Dacă copilul dumneavoastră scrie „x = 0” în aceste cazuri, e o greșeală frecventă de redactare: ce contează este dacă egalitatea rămasă e adevărată sau falsă.

Un plan de 3 săptămâni, 15 minute pe zi

SăptămânaCe exerseazăNivelul fișei
1un pas, cu proba scrisă de fiecare datăÎncepător
2ax + b = c, pași pe rânduri separateMediu
3paranteze, x în ambii membri, soluții negativeAvansat

Criteriu de trecere: aproape fără greșeli și proba făcută la fiecare exercițiu, fără să i-o mai amintiți.

Exemplu rezolvat: Rezolvăm 3(x − 2) = x + 8, cu proba

  1. Desfacem paranteza: 3 · x − 3 · 2 = 3x − 6. Ecuația devine 3x − 6 = x + 8.
  2. Scădem x din ambii membri: 3x − x − 6 = 8, adică 2x − 6 = 8.
  3. Adunăm 6 în ambii membri: 2x = 14.
  4. Împărțim ambii membri la 2: x = 7, deci S = {7}.
  5. Proba, în ecuația de la început: în stânga 3 · (7 − 2) = 3 · 5 = 15; în dreapta 7 + 8 = 15. Cei doi membri sunt egali, deci soluția e corectă.

Greșeli frecvente

  • Semnul greșit la mutarea unui termen: din x + 7 = 15 copilul scrie x = 15 + 7. Cereți-i să spună cu voce tare ce face („scad 7 din ambii membri”) în loc de „îl trec dincolo”.
  • Scade în loc să împartă: din 3x = 12 scrie x = 12 − 3 = 9. 3x înseamnă 3 · x, deci operația inversă este împărțirea: x = 12 : 3 = 4. Proba prinde imediat greșeala: 3 · 9 = 27, nu 12.
  • Înmulțește doar primul termen din paranteză: 3(x − 2) devine 3x − 2 în loc de 3x − 6. Desenați săgeți de la 3 la fiecare termen din paranteză până devine reflex.
  • Minusul din fața parantezei: −2(x − 4) se scrie −2x − 8, corect este −2x + 8. Exersați separat desfacerea parantezelor cu numere negative.
  • Semnul pierdut la împărțirea la un număr negativ: −4x = 20 dă x = −5, nu x = 5. La fișa de nivel avansat, multe soluții sunt negative tocmai ca să prindă această greșeală.

Sfaturi pentru părinți

  • Cereți proba la fiecare ecuație, chiar dacă rezultatul pare evident. Copilul învață să-și verifice singur lucrul, iar dumneavoastră nu mai trebuie să corectați tot.
  • Transformați jocul „m-am gândit la un număr” în ecuații: „îl înmulțesc cu 4, adaug 7 și obțin 43”. Lăsați-l să scrie 4x + 7 = 43 și să afle numărul.
  • Când greșește, nu-i spuneți unde e greșeala. Spuneți-i „proba nu iese” și lăsați-l să găsească rândul greșit, comparând fiecare pas cu cel de deasupra.
  • Dacă se încurcă la semne, lăsați ecuațiile deoparte 2–3 zile și lucrați doar adunări și înmulțiri cu numere negative, apoi reveniți.
  • Uitați-vă în caiet la redactare: un pas pe rând, semnul egal aliniat. La lucrări și la teste, profesorii punctează și pașii, nu doar rezultatul.

Întrebări frecvente

În ce clasă se învață ecuațiile de gradul I?

Conform programei școlare, noțiunea de ecuație se introduce în clasa a VI-a (cu numere întregi, apoi raționale). Forma generală ax + b = 0, cu numere reale, și sistemele de două ecuații se fac în clasa a VII-a. În clasa a V-a, problemele se rezolvă prin metode aritmetice.

Ce este proba și de ce o cere profesorul?

Proba înseamnă înlocuirea soluției găsite în ecuația de la început și verificarea faptului că cei doi membri au aceeași valoare. Programa cere explicit validarea soluției prin probă, iar în practică e cel mai sigur mod de a prinde o greșeală de semn înainte de a preda lucrarea.

Copilul meu „trece termenii cu semn schimbat”. E greșit?

Nu, este o scurtătură corectă: e același lucru cu a scădea sau a aduna termenul în ambii membri. Problema apare când o aplică mecanic și schimbă semnul și la împărțire (3x = 12 → x = −4). Dacă se întâmplă asta, explicați-i din nou cu metoda balanței.

Cum se rezolvă o ecuație cu fracții?

Se înmulțesc ambii membri cu numitorul comun, ca să dispară fracțiile, apoi se continuă ca de obicei. De exemplu, x/2 + x/3 = 10 devine 3x + 2x = 60, deci 5x = 60 și x = 12. Proba: 6 + 4 = 10.

Ce nivel de fișă să aleg?

Începător, dacă ecuațiile sunt noi sau copilul încă ghicește rezultatul. Mediu, pentru ecuații de forma ax + b = c, cum apar în clasa a VI-a. Avansat, pentru clasa a VII-a și recapitulare în clasa a VIII-a: paranteze, x în ambii membri și soluții negative.

Surse

Actualizat: · Verificat de redacția Fontivo