Egyenletek: megoldás lebontogatással és mérlegelvvel, feladatlappal

Mi az egyenlet, és miért olyan fontos hetedikben?

Az egyenlet egy állítás, amelyben van egy ismeretlen szám: 3x + 5 = 20. Az egyenlőségjel bal és jobb oldalán álló kifejezésnek ugyanannyit kell érnie, a feladat pedig megtalálni azt az x-et, amelyre ez teljesül (itt x = 5, mert 3 · 5 + 5 = 20).

A kifejezések, amelyekkel gyermeke a füzetben és a dolgozatokban találkozik:

• ismeretlen vagy változó: a betű, többnyire x;
• együttható: az x előtti szám (a 3x-ben a 3);
• bal oldal, jobb oldal: az egyenlőségjel két oldala;
• lebontogatás és mérlegelv: a két tanult megoldási módszer;
• ellenőrzés: a kapott számot visszaírjuk az eredeti egyenletbe;
• egyenlőtlenség: ugyanez <, > jellel; itt a megoldás nem egyetlen szám, hanem számok egész halmaza (például minden 3-nál nagyobb szám).

Az egyenlet nem egy kis önálló fejezet, hanem eszköz. Ezzel oldják meg a gyerekek a szöveges feladatokat, a százalékszámítást, a fizikai képleteket (út, idő, sebesség), később a függvényeket és az érettségi feladatok jó részét is. Aki hetedikben biztosan megold egy egyenletet, annak a nyolcadikos szöveges feladatok is sokkal könnyebbek.

Hányadik osztályban tanulják az egyenleteket?

A Nemzeti alaptanterv (Nat 2020) az 5–8. évfolyam végére azt várja, hogy a tanuló „egyismeretlenes elsőfokú egyenletet lebontogatással és mérlegelvvel megold”, és egyszerű szöveges feladatokat „következtetéssel vagy egyenlettel” oldjon meg. A 2020-as kerettanterv a 7–8. évfolyamon külön témakört szán erre (Szöveges feladatok előkészítése, legalább 16 óra), javasolt tevékenységként itt szerepel a mérlegelv bevezetése kétkarú mérleggel és a „Gondoltam egy számot” játék.

Az évekre bontást a helyi tanterv adja. Egy, a Nat 2020 alapján készült helyi tanterv (a Debreceni Egyetem gyakorló általános iskolájáé) például így osztja el:

Más iskolában a sorrend kissé eltérhet, de a vízválasztó jellemzően a hetedik osztály: ekkor jelenik meg rendszeresen az x mindkét oldalon, ahol a lebontogatás már nem működik, és a mérlegelv nélkülözhetetlen lesz.

Két módszer: lebontogatás és mérlegelv

Lebontogatás: visszafelé számolunk

A 4x + 7 = 31 egyenletet úgy olvassuk, mint egy történetet: „Gondoltam egy számot, megszoroztam 4-gyel, hozzáadtam 7-et, és 31 lett.” Visszafelé haladva:

1. Melyik számhoz adtam 7-et, hogy 31 legyen? 31 − 7 = 24.
2. Melyik számot szoroztam 4-gyel, hogy 24 legyen? 24 : 4 = 6.
3. Tehát x = 6. Ellenőrzés: 4 · 6 + 7 = 31. ✓

Ez a módszer ötödikben és hatodikban kiváló, mert a gyerek érti, mit csinál. A korlátja: ha az x mindkét oldalon szerepel (5x − 3 = 2x + 9), nincs mit „visszafelé” bontani.

Mérlegelv: a két oldallal ugyanazt tesszük

Képzeljünk el egy kétkarú mérleget, amely egyensúlyban van. Ha az egyik serpenyőből elveszünk 3 kg-ot, a másikból is el kell vennünk 3 kg-ot, különben kibillen. Az egyenletnél ugyanígy: bármit csinálunk az egyik oldallal, ugyanazt kell csinálni a másikkal is. A füzetben a sor végére, ferde vagy függőleges vonal mögé írják, mit csinálunk:

A jó sorrend szinte mindig ugyanaz: zárójel felbontása → összevonás oldalanként → az x-es tagok egy oldalra → a számok a másik oldalra → osztás az együtthatóval → ellenőrzés. Ha a gyerek ezt a hat lépést fejből tudja, a legtöbb iskolai egyenlettel elboldogul.

Négyhetes terv a feladatlap három szintjével

Napi 10–15 perc elég, napi 4–6 egyenlettel. Akkor lépjenek tovább, ha a gyerek egy szinten minden megoldását magától ellenőrzi, és tíz feladatból legfeljebb egyet ront el. Ha egy szöveges feladatnál elakad, a szöveges feladatok oldalán talál hozzá módszert, a negatív számokkal való számolást pedig a negatív számok oldal gyakoroltatja.

Gyakori hibák

• „Átviszi a túloldalra”, de nem vált előjelet (x + 5 = 12-ből x = 12 + 5 lesz). Javítás: ne „átvitelről” beszéljenek, hanem gyermeke írja ki a műveletet: / − 5. Ha mindkét oldalból kivon 5-öt, nem tud rossz előjelet kapni.
• Szorzás helyett kivon (3x = 12-ből x = 12 − 3 = 9). Kérdezze meg: mit jelent a 3x? Három darab x-et, vagyis 3-szor x-et. A szorzás ellentéte az osztás, ezért / : 3, és x = 4.
• A zárójel felbontásakor csak az első tagot szorozza (3(x − 2) = 3x − 2). Rajzoljanak két kis ívet a 3-tól mindkét tagig, amíg nem megy magától. Ellenőrzés: x = 5-tel 3 · 3 = 9, de 3 · 5 − 2 = 13, tehát a rövidített alak nem jó.
• Negatív együtthatóval rossz előjelet kap (−2x = 8-ból x = 4). Ha mindkét oldalt −2-vel osztja, x = −4. Ellenőrzés: −2 · (−4) = 8. ✓ A haladó szinten ezért vannak negatív megoldások is.
• Kihagyja az ellenőrzést. A dolgozatban sok tanár pontot ad rá, és ez az egyetlen biztos módja annak, hogy a gyerek maga vegye észre a hibát, mielőtt beadja.

Tippek szülőknek

• Játsszák a „Gondoltam egy számot” játékot vacsora közben: „Gondoltam egy számot, megdupláztam, hozzáadtam 5-öt, 23 lett.” Ez maga a lebontogatás, papír nélkül. Utána cseréljenek szerepet.
• Kérje meg gyermekét, hogy hangosan mondja ki a mérlegelv lépéseit: „mindkét oldalból elveszek 6-ot”. Aki ki tudja mondani, az érti is; aki csak „átviszi”, az gyakran találgat.
• Egy kész egyenletnél ne a végeredményt nézze meg először, hanem a sorok végén a / jel utáni műveleteket. Ha azok jók, a hiba legtöbbször csak elszámolás.
• Fordítsák meg a feladatot: Ön ad meg egy megoldást (x = 3), és gyermeke ír hozzá egyenletet. Aki egyenletet tud gyártani, az a szöveges feladatból is fel tudja írni.