Törtek: a négy alapművelet érthetően, példákkal és feladatlappal

A tört egy egész egyenlő részeinek valahány darabja: a nevező mutatja, hány egyenlő részre osztottuk az egészet, a számláló, hogy hány ilyen részt veszünk. Összeadni és kivonni csak azonos nevezőjű törteket lehet, ezért előbb közös nevezőre hozzuk őket. Szorzásnál számlálót számlálóval, nevezőt nevezővel szorzunk, osztásnál az osztó reciprokával szorzunk.

Nyomtatható feladatlap

Alapozó: Azonos nevezőjű törtek összeadása és kivonása. Gyakorló: Különböző nevezők: közös nevező keresése, ötödikes szint. Haladó: Tört szorzása és osztása törttel, hatodikos szint.

Minden kattintásra új feladatok készülnek. A megoldások külön oldalon vannak.

A lap nyomtatásához adja meg e-mail-címét a getfontivo.com oldalon.

Műveletek törtekkelGyakorló
Név: Dátum:

Hozd közös nevezőre a törteket, aztán végezd el a műveletet! Az eredményt egyszerűsítsd.

  1. 23 − 24 =
  2. 810 + 12 =
  3. 15 + 710 =
  4. 57 − 12 =
  5. 69 − 13 =
  6. 13 + 58 =
  7. 24 − 49 =
  8. 24 + 68 =
  9. 23 − 49 =
  10. 25 + 12 =
  11. 38 − 210 =
  12. 45 − 12 =
  13. 710 − 16 =
  14. 24 − 28 =
  15. 910 − 68 =
  16. 89 − 48 =
  17. 34 − 57 =
  18. 410 − 14 =
  19. 34 + 12 =
  20. 13 + 14 =
getfontivo.com
MegoldásokMűveletek törtekkel · Gyakorló
  1. 16
  2. 1310
  3. 910
  4. 314
  5. 13
  6. 2324
  7. 118
  8. 54
  9. 29
  10. 910
  11. 740
  12. 310
  13. 815
  14. 14
  15. 320
  16. 718
  17. 128
  18. 320
  19. 54
  20. 712

A gyakorlólap nyomtatása

Adja meg e-mail-címét, és elküldjük a linket pontosan ehhez a laphoz, a megoldásokkal együtt. Ezen felül hetente új gyakorlólapot is kap.

Mi a tört, és miért kulcskérdés a felső tagozatban?

A 3/4 (három negyed) kétféleképpen is érthető, és az iskola mindkettőt tanítja:

  • egy egész 4 egyenlő részéből 3 darab: a pizzát 4 szeletre vágjuk, és 3 szeletet veszünk;
  • 3 egész 4 egyenlő részre osztva: 3 tábla csokit 4 gyerek között osztunk szét, mindenki 3/4 táblát kap.

A második értelmezés miatt a törtvonal egyben osztásjel is, és ebből lesz később a tizedes tört (3/4 = 0,75) és a százalék (75%). A kifejezések, amelyekkel a füzetben találkozni fog: számláló (fent), nevező (lent), törtvonal, egyszerűsítés, bővítés, közös nevező, reciprok, vegyes szám (1 egész 1/2) és áltört (amikor a számláló nagyobb, mint a nevező, például 7/4).

A törtek a felső tagozat egyik legnagyobb vízválasztója. Arányosság, százalékszámítás, egyenletek, mértékegység-váltás: mind törtekkel számol. Ha ötödikben vagy hatodikban itt hiány marad, az még évekig visszaköszön.

Mikor tanulják a törteket?

A Nemzeti alaptanterv (Nat 2020) két szakaszban építi fel a törteket:

  • az 1–4. évfolyam végére a gyerek tevékenységekkel megjelenít egységtörteket (1/2, 1/3, 1/4…) és azok többszöröseit, a törtrészeket pedig kirakással, méréssel, rajzzal hasonlítja össze. Műveletet még nem végez törtekkel;
  • az 5–8. évfolyamon jön a számolás: a tanuló „meghatározza konkrét számok reciprokát”, és „elvégzi az alapműveleteket a racionális számok körében”, az eredményt pedig összeveti a becslésével.

Az évekre bontást a helyi tanterv adja. Egy, a 2020-as kerettanterv alapján készült helyi tanterv (Debreceni Egyetem gyakorló iskolája) így osztja el:

OsztályMit tanulnak a törtekből
3. osztály2, 3, 4, 10, 100 nevezőjű törtek megnevezése, előállítása hajtogatással, nyírással, rajzzal, színezéssel
4. osztályugyanez nagyobb biztonsággal, törtrészek összehasonlítása modellen
5. osztálya tört fogalma, ábrázolás számegyenesen, egyszerűsítés, bővítés, összehasonlítás; összeadás, kivonás, szorzás és osztás természetes számmal
6. osztálytört szorzása törttel, tört osztása törttel, a reciprok fogalma; negatív törtek

Más iskolában néhány héttel eltolódhat a sorrend, de a lényeg ugyanaz: ötödikben a közös nevező, hatodikban a törttel való szorzás és osztás az új anyag.

A négy művelet szabálya egy táblázatban

MűveletSzabályPélda
Összeadás, azonos nevezőa számlálókat összeadjuk, a nevező marad2/7 + 3/7 = 5/7
Kivonás, különböző nevezőközös nevezőre hozzuk, aztán kivonjuk a számlálókat3/4 − 1/6 = 9/12 − 2/12 = 7/12
Tört szorzása egész számmalcsak a számlálót szorozzuk3 · 2/5 = 6/5 = 1 egész 1/5
Tört szorzása törttelszámláló · számláló, nevező · nevező; előtte érdemes egyszerűsíteni2/3 · 9/10 = 18/30 = 3/5
Tört osztása egész számmala nevezőt szorozzuk (vagy a számlálót osztjuk, ha lehet)4/5 : 2 = 2/5
Tört osztása törttelaz osztó reciprokával szorzunk3/4 : 2/5 = 3/4 · 5/2 = 15/8

A tanárok a végén szinte mindig egyszerűsített alakot kérnek: a 18/30 nem hibás, de nem kész. Az áltörtet sok tanár vegyes számként kéri (15/8 = 1 egész 7/8), érdemes megkérdezni a gyermekétől, hogyan szokták a füzetben.

Közös nevező lépésről lépésre, és egy négyhetes terv

A közös nevező a legtöbb gyereknél a szűk keresztmetszet. Az iskola a legkisebb közös többszöröst (lkkt) használja, de otthon elég egy egyszerű módszer:

  1. Felírjuk a nagyobb nevező többszöröseit sorban: 6, 12, 18…
  2. Az első, amelyik a kisebb nevezővel is osztható, a közös nevező (4/… és 6/… esetén a 12).
  3. Mindkét törtet bővítjük: a számlálót ugyanannyival szorozzuk, mint a nevezőt (3/4 = 9/12, mert 4 · 3 = 12, tehát 3 · 3 = 9).
  4. Ezután már csak a számlálókkal számolunk, a végén egyszerűsítünk.

A két nevező szorzata mindig jó közös nevező, csak néha túl nagy (4 · 6 = 24 helyett elég a 12), és a végén többet kell egyszerűsíteni.

HétMit gyakorolnakMelyik szint
1.egyszerűsítés, bővítés fejben; azonos nevezőjű összeadás, kivonásAlapozó
2.közös nevező, amikor az egyik nevező a másik többszöröse (1/2 + 3/8)Gyakorló
3.közös nevező bármely két kis nevezőnél (2/3 + 3/4)Gyakorló
4.szorzás, osztás, keresztbe egyszerűsítésselHaladó

A szorzótábla itt is alap: aki nem látja azonnal, hogy a 12 a 3-nak és a 4-nek is többszöröse, annak minden közös nevező külön küzdelem.

Kidolgozott példa: 2/3 + 3/4, majd az eredmény osztása 5/6-dal

  1. Közös nevező: a 4 többszörösei 4, 8, 12. A 12 osztható 3-mal is, tehát 12 lesz a közös nevező.
  2. Bővítés: 2/3 = 8/12 (a nevezőt 4-gyel szoroztuk, így a számlálót is), 3/4 = 9/12 (mindkettőt 3-mal).
  3. Összeadás: 8/12 + 9/12 = 17/12. Ez áltört, vegyes számként 1 egész 5/12. Becslés: kb. 2/3 + 3/4 ≈ 0,7 + 0,8 = 1,5, tehát 1-nél kicsit több jó eredmény.
  4. Osztás 5/6-dal: az osztó reciprokával szorzunk: 17/12 · 6/5.
  5. Keresztbe egyszerűsítés: a 6 és a 12 egyszerűsíthető 6-tal, így 17/2 · 1/5 = 17/10, vagyis 1 egész 7/10. Ellenőrzés: 17/10 · 5/6 = 85/60 = 17/12. Visszakaptuk, tehát jó.

Gyakori hibák

  • Összeadja a nevezőket is (1/2 + 1/3 = 2/5). Javítás: rajzoljanak két egyforma téglalapot, az egyiket osszák két, a másikat három egyenlő részre. Rögtön látszik, hogy a fél és a harmad együtt több a félnél, a 2/5 pedig kevesebb.
  • Egész számmal szorzásnál a nevezőt is szorozza (3 · 2/5 = 6/15). Javítás: 3 · 2/5 = 2/5 + 2/5 + 2/5, így látszik, hogy csak a számláló nő, a darabok mérete nem változik.
  • Osztásnál a rossz törtet fordítja meg (3/4 : 2/5 helyett 4/3 · 2/5-öt számol). Szabály: az első tört marad, csak az osztót cseréljük a reciprokára, és az osztásjel szorzás lesz.
  • Összeadásban is „keresztbe egyszerűsít” (2/4 + 4/8-nál a 4-eseket húzza ki). Keresztbe egyszerűsíteni csak szorzásnál szabad; összeadásnál minden törtet külön egyszerűsítünk.
  • A nagyobb nevezőt nagyobb törtnek hiszi (1/8 > 1/6). Kérdezze meg: ha egy tortán 6 vagy ha 8 gyerek osztozik, mikor jut több egy gyereknek? Minél nagyobb a nevező, annál kisebb egy darab.

Tippek szülőknek

  • A konyha a legjobb terep: fél bögre liszt meg negyed bögre liszt együtt mennyi? Hány negyedkilós vaj kell 3/4 kilóhoz? Valódi mennyiséggel a közös nevező magától értetődik.
  • Hajtogassanak egy papírcsíkot félbe, aztán negyedbe, nyolcadba. Egymás mellé téve látszik, hogy 1/2 = 2/4 = 4/8: ez maga a bővítés.
  • Írják fel egy cetlire a gyakori közös nevezőket: 2 és 3 → 6, 3 és 4 → 12, 4 és 6 → 12, 6 és 8 → 24. Amíg nem megy fejből, ez kapaszkodó, nem puska.
  • Minden feladat után kérje meg, hogy előbb becsüljön: „több vagy kevesebb egynél?” Aki becsül, észreveszi, ha az 1/2 + 1/3 eredménye kevesebb lett, mint 1/2.

Gyakori kérdések

Hányadikban tanulják a törteket?

Alsó tagozatban, főleg 3–4. osztályban, a gyerekek még csak kirakják, színezik, megnevezik a törtrészeket (fél, harmad, negyed, tized). A számolás felső tagozatban kezdődik: 5. osztályban az összeadás, kivonás és az egész számmal való szorzás, osztás, 6. osztályban a tört szorzása és osztása törttel.

Miért kell osztásnál a reciprokkal szorozni?

Mert az osztás azt kérdezi, hányszor van meg az osztó. Az 1 : 1/4 azt jelenti, hány negyed van egy egészben: 4, vagyis 1 · 4/1. Ugyanígy a 3/4 : 1/8 azt kérdezi, hány nyolcad van három negyedben: 6, és valóban 3/4 · 8/1 = 24/4 = 6. Ha egyszer egy ilyen egyszerű példán végiggondolják, a szabály már nem varázslat.

A végeredményt vegyes számként vagy áltörtként kell megadni?

Mindkettő helyes érték, de az iskolában általában egyszerűsített alakot, és sokszor vegyes számot kérnek. Az, hogy a 15/8 vagy az 1 egész 7/8 a „kész” válasz, tanárfüggő, ezért érdemes megnézni a füzetben. Számolni áltörttel könnyebb: szorzás és osztás előtt a vegyes számot mindig alakítsák áltörtté (1 egész 1/2 = 3/2).

A két nevező szorzata is jó közös nevező?

Igen, mindig jó, csak gyakran nagyobb a szükségesnél. A 3/4 + 5/6 kiszámolható 24-es nevezővel is, de 12-vel kisebb számokkal dolgozik a gyerek, és a végén kevesebbet kell egyszerűsíteni.

Mit tegyek, ha ötödikes gyerekem egyáltalán nem érti a törteket?

Lépjenek vissza a modellhez: pizza, csokitábla, papírcsík. Ha a gyerek nem tudja megmutatni rajzon, mennyi a 2/3, a szabályok sem fognak megmaradni. Utána jöhet az egyszerűsítés és bővítés fejben, és csak ezután a közös nevező.

Források

Frissítve: · Ellenőrizte a Fontivo szerkesztősége